Binary operation
Defination: 对两个对象进行操作的运算称为二元运算。一般在《离散数学》这门课中只研究离散结构，e.g. 集合。
Some Properties of Binary Operations
Closure
Defination: 设集合 S 有二元运算∗, 若对 S 中的任意两个元素 \(a_1\)、\(a_2\), 都有: \(a_1∗a_2∈S\), 则称运算∗对集合 S 封闭。
Commutative
Defination: 交换律也称为Abel 律，设有代数 \((S,∗)\)，若对任意 \(a_1,a_2∈S\),都符合等式: \(a_1∗a_2=a_2∗a_1\),那么称代数 \((S,∗)\) 运算符合交换律。
推广: 如果 \((S,∗)\) 运算符合交换律，那么对于运算序列 \(a_1∗a_2∗...∗a_n\)，设 \(θ(12...n)\) 为任意重排列，那么有: \(a_θ(1)∗a_θ(2)∗...∗a_θ(n)=a_1∗a_2∗...∗a_n\)。
Associative
Defination: if * is a binary operation, then * is associative or has the associative property:\((x * y) * z = x * (y * z)\)，在运算过程中不需要再考虑括号了！
Distributive
略。
De Morgan‘s laws
扔个PPT在这。
Idempotent
Defination: \(a * a = a\)
Note！
An operation has a property means the statement of the property is true when the operation is used with any objects in the structure.
A binary operation on a set
Defination: Everywhere defined \(f:A×A\rightarrow A\)，同时需要满足封闭性和运算结果唯一，即双射性质。
Tables(运算表)
Defination: If A is a finite set, we can define a binary operation on A by means of a table.
Some Special Elements
Identity(中性元)
Defination: \(e∗x=x∗e=x\)
Zero(零元)
Defination: \(\theta ∗ x=x ∗ \theta= \theta\)
Inverse(逆元)
Defination: \(x * y = y * x = e\)，两者互为逆元
Note!
- 单位元以及零元的唯一性
- 如果\(\left| A \right| > 1, \theta \neq e\)
- 可结合的运算逆元唯一性