Products Semigroups 积半群（半群的笛卡尔积）

定理1: 两个半群的笛卡尔积也是半群。
定理2: 类似，两个幺半群的笛卡尔积也是幺半群且其幺元为\((e_S,e_T)\)。

Congruence relation 同余关系

Defination: 在半群\((S,∗)\)上的等价关系R，如果满足：任意\(a R a'\)并且\(b R b'\) \(\Rightarrow\) \((a∗b) R (a'∗ b')\)，则称\(R\)为半群上的同余关系。
回忆: 等价关系满足自反性、对称性、传递性。
解题法:
> Prove Step: R是半群上的同余关系？
> 1. 等价关系显然（已知给出）。
> 2. 根据\(a R a'\)和\(b R b'\)可以推出 \((a∗b) R (a'∗ b')\)。
Note! 等价关系不一定是同余关系。反例：

Quotients Semigroups 商半群

Defination:
其实就是按照以下步骤定义了一种二元运算：
> 1. \(S = \{a,b,c,……,a',b',c',……\}\)
> 2. 设定价类\([a] = \{a, a',……\},[b] = \{b, b',……\},[c] = \{c, c',……\},……\)
> 3. \(S/R = \{[a],[b],[c],……\}\)
> 4. \(S/R \times S/R = \{([a],[a]),([a],[b]),([a],[c]),……\}\)
> 5. \(f:S/R \times S/R \rightarrow S/R\)
> 6. \(f([a],[b]) = [c] \leftrightarrow [a] \otimes [b] = [c]\)
Note! 注意\(\otimes\)是等价类之间的运算，可以用代入等价类中的元素进行计算，即\([a] \otimes [b] = [a * b]\)
幺半群导出的商半群也是幺半群
Prove:
\([a] \otimes [e] = [a * e] = [a]=[e * a] = [e] \otimes [a]\)

Natural Homomorphism 自然同态

Defination: \(f_R:S \rightarrow S/R\space defined\space by\space f_R(a) = [a]\)，显然满射(onto)。

*Fundamental Homomorphism 同态基本定理

Defination: 设\(f:S \rightarrow T\)是同态，\(R\)是\(S\)上的关系且被定义为\(aRb \iff f(a) = f(b)\)，那么有：
1）\(R\)是同余关系；
2）\(T\)和\(S/R\)同构；