Inverse

Defination: 令\((S, *)\)是一个幺半群，\(x \in S\)。当\(\exists y \in S, x * y = y * x = e\)，则称\(y\)为\(x\)的逆元，记为\(x^{-1}\)。
单位元一定是可逆的。
逆元是唯一的。
Prove: 设\((S, *)\)是一个幺半群，\(x \in S\)可逆，若\(\exists y_1,y_2\)为\(x\)的逆元，
有\(y_1 = y_1 * e = y_1 * (x * y_2) = (y_1 * x) * (y_2) = e * y_2 = y_2\)

Group 群

Defination1: 由上面引出，若\((S, *)\)是一个幺半群，如果每一个元素均可逆，则\((S, *)\)构成一个群。
Defination2: 拓展半群的定义：
>1. Closure 运算封闭性；
>2. Associativity 结合律
>3. Identity 存在单位元
>4. Inverse 每个元素都有逆元
引理: \((S, *)\)是幺半群，令\(G\)是其所有可逆元素构成的子集，则\((G, *)\)是群。
Properties:
> 1. \((a^{-1})^{-1} = a\)
> 2. \((ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}\)
> 3. \(ab = ac \rightarrow b = c\)（左消去律）
> 4. \(ba = ca \rightarrow b = c\)（右消去律）
事实上，群的定义可以减弱为\(\textbf{ea = a}\)
Prove: \(ae = aa^{-1}(a^{-1})^{-1} = e(a^{-1})^{-1} = ea\)

几类特殊的群

Abelian Group 阿贝尔群/交换群

Defination: \((G, *),\forall x,y \in G, x * y = y * x\)。

平凡群

Defination: \((\{e\}, *)\)

General Linear Group n阶一般线性群

Defination: \(n * n\)阶可逆实矩阵构成的乘法群，\(GL_n(R) = \{A \in M_n(R):det(A)\neq0\}\)

Subgroup 子群

Defination: \(H\)是\(G\)的子群，记作$H < G，满足：
>1. \(e \in H\)
>2. 封闭性
>3. 都有逆元
>还可以压缩为：
>1. 非空\(H \subset G\)
>2. \(\forall x,y \in H,ab^{-1} \in H\)
上述也可以作为判定方法。

Homomorphism 群同态

Defination: \((G, *),(G',*')\) 是两个群，\(f:G \rightarrow G'\)是一个群同态，那么有
> 1. \(f(e) = e'\)；
> 2. \(f(a^{-1})=(f(a))^{-1}\)；
> 3. \(H\)是\(G\)的一个子群，那么\(f(H) = \{f(h)|h \in H\}\)也是\(G'\)的一个子群；
命题: \(det:GL_n(R)\rightarrow (R, *)\)是一个乘法群同态，即行列式是一般线性群到实数乘群的一个群同态。
对\(SL_n(R)=\{A \in GL_n(R):det(A) = 1\}\)，显然1是\((R, *)\)的单位元，那么，
\(SL_n(R) = det^{-1}(1)=det^{-1}(\{1\})\)，翻译成人话，特殊线性群是那些映射到单位元元素的矩阵的集合，即它是实数乘群中单位元的一个原象，也是下面提到的正规子群。
满同态，单同态
Note! 单同态当且仅当\(Ker(f) = \{e\}\)，要证明群同态是单射，只需证\(Ker(f) = \{e\}\)。

Kernal, Image 核/像

Defination: \(f:G \rightarrow G'\)是一个群同态，\(Ker(f) = \{a\in G|f(a)=e'\},Im(f)=f(G)=\{y\in G:\exists x\in G,y = f(x)\}\)

同态基本定理

Defination: 设\(f:G \rightarrow G'\)是同态，\(R\)是\(G\)上的关系且被定义为\(aRb \iff f(a) = f(b)\)，那么有：
> 1）\(R\)是同余关系；
> 2）\(G'\)和\(G/R\)同构；

Isomorphism 同构

Defination: 双射的同态。

Direct Product 群的直积

Defination: \((x, y)*(x',y')=(x \circ_1 x', y \circ_2 y')\)

Finate Group 有限群

Defination: \(G\space is\space Finate\space Group \iff G\)是一个有限集合
The Order of Group 群的阶
> Defination: 若\(x \in G\)，如果\(\exists 最小正整数n \in N,s.t.x^n=e\)，则\(|G|=n\)，若不存在，则\(|G|=\infty\)
命题1: 有限群的每一个元素经过有限次自乘都可以得到单位元。

Cyclic Group 循环群

命题1: 令\(G=<x>\)是有限循环群，假设\(|x| = n\)，则\(G = \{e,x^2,……,x^n\}\)，其中元素是两两不同的，则称有限群\(G\)的阶为\(n\)。
可以用Cayley图进行可视化表示：命题2: 任意n阶循环群互相同构，无限循环群也是互相同构的。
命题3: 任意循环群都是交换群。
命题4: 令\(G = <x>\)为无限循环群，G只有两个生成元分别为\(x,x^{-1}\)。
几类特殊的循环群:
> \((Z, +) = <1>,1\)或\(-1\)是它的生成元，无限循环群；
Lagrange定理: 若\(H\)是\(G\)的子群，则\(|H|\space |\space |G|\)。

Coset 陪集

左陪集
> Defination: \(H\)是\(G\)的一个子群，\(aH = \{ah|h \in H\},a \in G\)，陪集一般不是子群。
> 定义\(f:H \rightarrow aH,f(x)=ax\)，显然是双射，则\(|H|=|aH|\)。
> 命题1: 两个左陪集要么相等要么无交，所有陪集构成群的一个分拆。
> 可以定义为商集\(G/H\)
右陪集
如何赋予商集一个群的结构？

Normal Group 正规子群

Defination: \(N<G,\forall a \in G,aN = Na\)，记作\(H \lhd G\)，此时\((G/N,\circ)\)称为商群。其单位元为\(eN = N\)，逆元为\(a^{-1}N\)
商群: 可以通过正规子群来生成商集，并定义二元运算为\((aN) \times (bN)=[a]\circ [b] = [a * b] = abN\)
同时有函数定义为\(f_R:G \rightarrow G/R, f_R(a) = aN\),则\(f_R\)是由\(G \rightarrow G/R\)的同态，一般记为\(G/N\)。
定理: 设\(G\)的正规子群\(N\)，设定义在\(G\)上的关系\(R: aRb \iff ab^{-1} \in N\)，那么有：
> 1. \(R\)是\(G\)上的同余关系；
> 2. \(N = [e]\)；
Prove: \(证明自反性: aa^{-1}=e \in N \Rightarrow aRa\)
\(证明对称性, if\space aRb, then\space ab^{-1}\in N,由于其存在逆元，则(ab^{-1})^{-1}=ba^{-1}\Rightarrow bRa\)
\(证明传递性,if\space aRb,bRc,then\space ab^{-1},bc^{-1}\in N,由封闭性,ab^{-1}bc^{-1} = ac^{-1}\in N\Rightarrow aRc\)
\(证明同余关系,\)