欧式空间中线性变换的求法
有了前两节的铺垫，下面，我们正式介绍欧式空间中线性变换的求法。
我们将问题描述如下：
问题描述：
- 在欧式空间中给定线性变换 \(T: \mathbb{V}^n \to \mathbb{V}^n\)，比如：\(T( \boldsymbol{X}) = \boldsymbol{X} \boldsymbol{B}(\forall \boldsymbol{X} \in \mathbb{V})\)，其中 \(\boldsymbol{B}\) 给定。
- 目标： 寻找一组新基，使得 \(T\) 在这组基下的矩阵表示为对角矩阵 \(\boldsymbol{\Lambda}\) 或 Jordan 标准型 \(\boldsymbol{J}\)。
首先，我们以课本 [矩阵论] 中的例题 1.36 为例，说明对称变换的求法：
例 1.36
在欧氏空间 \(\mathbb{R}^{2 \times 2}\) 中，矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 的内积定义为 \[( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})=tr ( \boldsymbol{A}^\top \boldsymbol{B})\]，子空间
\[ V=\left\{ \boldsymbol{X} =\begin{bmatrix} x_{1} & x_{2}\\ x_{3} & x_{4} \end{bmatrix} \mid x_{3}-x_{4}=0\right\} \]
\(V\) 中的线性变换为
\[ T( \boldsymbol{X})= \boldsymbol{X} \boldsymbol{B}_{0}\quad (\forall \boldsymbol{X} \in V), \boldsymbol{B}_{0}=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \]
- 求 \(V\) 的一个标准正交基；
- 验证 \(T\) 是 \(V\) 中的对称变换；
- 求 \(V\) 的一个标准正交基，使 \(T\) 在该基下的矩阵为对角矩阵。
解：
(1) 先找到一组普通的基，再进行 Schmidt 正交化
\[ \boldsymbol{X}=\begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{bmatrix}=x_{1}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}+x_{2}\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}+x_{3}\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \]
一组标准正交基为：
\[ \boldsymbol{X}_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{X}_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{X}_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{bmatrix} \]
(2) 计算 \(T\) 在这组基下的矩阵表示
\[ T(\boldsymbol{X}_1 , \boldsymbol{X}_2, \boldsymbol{X}_3) = (\boldsymbol{X}_1 , \boldsymbol{X}_2, \boldsymbol{X}_3)\boldsymbol{A} \Rightarrow \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0\\ 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \]
(3) 计算新的正交基，使 \(T\) 在该基下为对角矩阵
\[ \boldsymbol{A} = \boldsymbol{Q} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{Q}^\top \]
其中：
\[ \boldsymbol{\Lambda}= \begin{bmatrix} 3 & & \\ & 3 & \\ & & -1 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{Q}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]
计算得到的新基：
\[ \boldsymbol{Y}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{Y}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{Y}_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} -1 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \]
线性变换的一般求法
若 \(V\) 是欧式空间，\(T\) 是 \(V\) 上的一个线性变换：
任意找到 \(V\) 的一个基，并通过 Schmidt 正交化法得到 \(V\) 的一个标准正交基，记为 \(e_1,e_2,\cdots,e_n\)；
求 \(T\) 在该标准正交基下的矩阵表示 \(\boldsymbol{A}_0\)：
\[ T(e_1,e_2,\cdots,e_n) = (e_1,e_2,\cdots,e_n)\boldsymbol{A}_0 \]
将 \(\boldsymbol{A}_0\) 化为 Jordan 标准型 \(\boldsymbol{J}\)：
\[ \boldsymbol{A}_0 = \boldsymbol{P}\boldsymbol{J} \boldsymbol{P}^{-1} \]
右乘 \(\boldsymbol{P}\)：
\[ T(e_1,e_2,\cdots,e_n)\boldsymbol{P} = (e_1,e_2,\cdots,e_n)\boldsymbol{P}\boldsymbol{J} \]
取新基 \((\boldsymbol{E}_1, \boldsymbol{E}_2, \cdots, \boldsymbol{E}_n) = (\boldsymbol{e}_1 , \boldsymbol{e}_2, \cdots, \boldsymbol{e}_n)\boldsymbol{P}\)，则线性变换在新基下的矩阵表示为 \(\boldsymbol{J}\)。
以上方法可用于简化计算，使得多项式函数 \(z = (T^k)(x),x\in V\) 的求解更加简便。