线性变换既然有矩阵表示，我们希望其应用到向量上得到的象能方便得到，即我们希望线性变换对应的矩阵尽量简单，比如能变为对角矩阵。为此，我们首先引入线性变换的特征值和特征向量，它和普通方阵类似。
特征值与特征向量
定义 1 设 \(T: V \to
V\) 是一个线性变换，如果存在 \(\lambda_0 \in K\)，使得存在非零向量 \(x \in V\) 满足：
\[ T x = \lambda_0 x\]
那么我们称 \(\lambda_0\) 是 \(T\) 的特征值，\(x\) 是 \(T\) 属于 \(\lambda_0\)
的特征向量。
定义 2 设 \(\boldsymbol{A}
= (a_{ij})_{n\times n}\) 是数域 \(K\) 上的 \(n\) 阶矩阵，\(\lambda\) 是参数，\(\boldsymbol{A}\) 的特征矩阵 \(\lambda I - A\) 的行列式：
\[
\det (\lambda I-A) = \begin{vmatrix}
\lambda-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\
-a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & \lambda-a_{nn}
\end{vmatrix}
\]
称为矩阵 \(\boldsymbol{A}\)
的特征多项式，记为 \(\varphi(\lambda)\)。它的根 \(\lambda_0\) 称为 \(\boldsymbol{A}\)
的特征值，而对应的非零解向量 \((\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n)^T\) 称为 \(\boldsymbol{A}\) 的属于特征值 \(\lambda_0\)
的特征向量。
最小多项式
定义 3 设 \(\boldsymbol{A}\) 的首项系数为 \(1\)，次数最小，且以 \(\boldsymbol{A}\) 为根的 \(\lambda\) 的多项式，称为 \(\boldsymbol{A}\) 的最小多项式，记为 \(m(\lambda)\)。
最小多项式与特征多项式的关系
定理 1 设矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的最小多项式 \(m(\lambda)\) 可整除以 \(\boldsymbol{A}\) 为根的任一首 \(1\) 多项式 \(\psi(\lambda)\)，且 \(m(\lambda)\) 是唯一的。
定理 2 矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的最小多项式 \(m(\lambda)\) 与其特征多项式 \(\varphi(\lambda)\) 的零点相同（不计重数）。
定理 3 设 \(n\)
阶矩阵 \(\boldsymbol{A}\)
的特征多项式为 \(\varphi(\lambda)\)，特征矩阵 \(\lambda I - A\) 的全体 \(n-1\) 阶子式的最大公因式为 \(d(\lambda)\)，则 \(\boldsymbol{A}\) 的最小多项式为：
\[ m(\lambda) =
\frac{\varphi(\lambda)}{d(\lambda)} \]
Jordan 标准型
定义 4 设矩阵 \(\boldsymbol{J}\) 由以下 Jordan
块构成：
\[
\boldsymbol{J} = \begin{bmatrix}
\boldsymbol{J}_1(\lambda_1) & & & \\
& \boldsymbol{J}_2(\lambda_2) & & \\
& & \ddots & \\
& & & \boldsymbol{J}_s(\lambda_s)
\end{bmatrix}
\]
其中，Jordan 块的形式如下：
\[
\boldsymbol{J}_i(\lambda_i) =
\begin{bmatrix}
\lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \lambda_i & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 1 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_i
\end{bmatrix}
\]
称 \(\boldsymbol{J}\) 为矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的Jordan
标准型。
计算 Jordan 标准型的步骤
求矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的初等因子组，设为：
\[ (\lambda - \lambda_1)^{m_1}, (\lambda - \lambda_2)^{m_2}, \dots, (\lambda - \lambda_s)^{m_s} \]
且 \(m_1 + m_2 + \cdots + m_s = n\)。写出每个初等因子对应的 Jordan 块。
构造 Jordan 标准型：
\[ \boldsymbol{J} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{J}_1(\lambda_1) & & & \\ & \boldsymbol{J}_2(\lambda_2) & & \\ & & \ddots & \\ & & & \boldsymbol{J}_s(\lambda_s) \end{bmatrix}\]
计算工具
在实际计算中，Python 提供了强大的 NumPy 和
SymPy 库，可以用于快速计算 Jordan 标准型。