矩阵序列介绍
在《线性代数》课程中主要学习了矩阵的代数运算，我们继续将《数学分析》中的理论推广至矩阵空间，对于矩阵的分析，类似数列，我们同样从极限理论开始，介绍矩阵序列的极限运算。
定义
设 \(\{A^{(k)}\}_{k=1}^\infty\)
是一个矩阵序列，其中 \(A^{(k)} \in
\mathbb{C}^{m \times n}\)。当 \(a_{ij}^{(k)} \to a_{ij}(k \to \infty)\)
时，称 \(\{A^{(k)}\}\) 收敛，或成矩阵
\(A = (a_{ij})_{m \times n}\) 为 \(\{A^{(k)}\}\) 的极限，或称 \(\{A^{(k)}\}\) 收敛于 \(A\)，记为
\[
\lim_{k \to \infty} A^{(k)} = A, A^{(k)} \to A
\]
不收敛的矩阵序列称为 发散。
同样，矩阵序列收敛有很多与数列收敛类似的性质，此处不再赘述，继续往下研究其收敛的等价条件。
定理
定理 1 设 \(A^{(k)} \in \mathbb{C}^{m \times n}\)，则
- \(A^{(k)} \to O\) 的充要条件是 \(\Vert A^{(k)}\Vert \to 0\)；
- \(A^{(k)} \to A\) 的充要条件是 \(\Vert A^{(k)} - A \Vert \to 0\)；
这里，\(\Vert \cdot \Vert\) 是 \(\mathbb{C}^{m \times n}\) 上任何一种矩阵范数。
至此，我们将矩阵收敛的判断与范数建立了联系。
定义
定义 1 矩阵序列 \(\{A^{(k)}\}\) 称为 有界
的，如果存在常数 \(M >
0\)，使得对于一切 \(k\)
都有
\[
\left | a_{ij}^{(k)}\right | < M(i = 1,2,\dots,m;j = 1,2,\dots,n)
\]
定义 2 设 \(A\) 为方阵，且 \(A^k \to O(k \to \infty)\)，则称 \(A\) 为 收敛矩阵。
定理
定理 2 \(A\) 为收敛矩阵的充要条件是 \(\rho(A) < 1\)。
定理 3 \(A\) 为收敛矩阵的充分条件是只要有一种矩阵范数 \(\left|\cdot\right|\)，使得 \(\Vert A \Vert < 1\)。