矩阵级数介绍
在数学分析中，级数（特别是幂级数）的理论占有重要地位。在建立矩阵分析的理论时，矩阵级数，特别是幂级数，是建立矩阵函数的理论基础。
类似数列级数，我们给出其收敛、发散以及和的定义。
定义 1
把矩阵序列所形成的无穷和 \(A^{(0)} +
A^{(1)} + A^{(2)} + \cdots + A^{(k)} + \cdots\) 称为
矩阵级数，记为 \(\sum_{k =
0}^{\infty} A^{(k)}\)。则有：
\[
\sum_{k=0}^\infty A^{(k)} = A^{(0)} + A^{(1)} + A^{(2)} + \cdots +
A^{(k)} + \cdots
\]
定义 2
记 \(S^{(N)} = \sum_{k=0}^N
A^{(k)}\)，称其为矩阵级数的部分和。如果矩阵序列 \(\{S^{(N)}\}\)
收敛，且有极限 \(S\)，则有：
\[
\lim_{N \to \infty} S^{(N)} = S
\]
那么就称矩阵级数收敛，并且有 \(S\)，记为：
\[
S = \sum_{k=0}^\infty A^{(k)}
\]
不收敛的矩阵称为 发散 的。
若用 \(s_{ij}\) 表示 \(S\) 的第 \(i\) 行第 \(j\) 列元素，那么，和 \(\sum_{k=0}^N A^{(k)} = S^{(N)}\)
的意义是：
\[
\sum_{k = 0}^{\infty}a_{ij}^{(k)} = s_{ij}, \quad (i=1,2,\dots,m; \quad
j=1,2,\dots,n)
\]
定义 3
如果上述级数中 \(mn\) 个数项级数都是绝对收敛的，则称矩阵级数是 绝对收敛 的。
我们不再赘述有关矩阵级数绝对收敛的一些判别和性质，而是将重点放在矩阵的幂级数上。
首先，我们看一个比较简单的方阵幂级数。
定理 1
方阵 \(A\) 的
幂级数（Neumann 级数）
\[
\sum_{k = 0}^{\infty} A^k = I + A + A^2 + \dots + A^k + \dots
\]
收敛的充要条件是 \(A\)
为收敛矩阵，并且在其收敛时，其和为 \((I -
A)^{-1}\)。
如果用级数和来估算部分和矩阵，会存在一定误差：
定理 2
设方阵 \(A\) 对某一矩阵范数 \(\Vert \cdot \Vert\) 有 \(\Vert A\Vert < 1\)，则对任何非负整数
\(N\)，以 \((I-A)^{-1}\) 为部分和 \(I + A + A^2 + \dots + A^N\)
的近似矩阵时，其误差为：
\[
\Vert (I-A)^{-1} - (I + A + A^2 + \dots + A^N)\Vert \le \frac{\Vert
A\Vert ^{N+1}}{1 - \Vert A\Vert}
\]
现在，我们继续将矩阵幂级数 \(\sum_{k = 0}^{\infty} c_kA^k\) 与对应的纯量幂级数 \(\sum_{k = 0}^{\infty} c_kz^k\) 建立联系。
定理 3
设幂级数
\[
f(z) = \sum_{k = 0}^{\infty}c_kz^k
\]
的收敛半径为 \(r\)，如果方阵 \(A\) 满足 \(\rho
(A) < r\)，则矩阵幂级数
\[
\sum_{k = 0}^{\infty}c_kA^k
\]
是绝对收敛的；如果 \(\rho (A) >
r\)，则矩阵幂级数是发散的。